Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足條件a_n+S_n=n²+3n，數(shù)列{b_n}滿足條件b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，M為正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的前2015項(xiàng)的和T₂₀₁₅≥M，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=n²+3n，n=1時(shí)，解得a₁=2．n≥2時(shí)，可得：2a_n-a_n-1=2n+2，變形為：a_n-2n=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}-2（n-1）]$，即可得出a_n．
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}+\frac{1}{4（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{n（n+1）}+\frac{1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$＜1+$\frac{1}{2n（n+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．可得1＜b_n＜1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+S_n=n²+3n，∴n=1時(shí)，2a₁=4，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，a_n-1+S_n-1=（n-1）²+3（n-1），可得：2a_n-a_n-1=2n+2，
變形為：a_n-2n=$\frac{1}{2}[{a}_{n-1}-2（n-1）]$，
∵a₁=2，∴a₂=4，以此類推可得：a_n=2n．（n=1時(shí)也成立）．
（2）b_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}+\frac{1}{4（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2{n}^{2}+2n+1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{n（n+1）}+\frac{1}{4{n}^{2}（n+1）^{2}}}$＜1+$\frac{1}{2n（n+1）}$=1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴1＜b_n＜1+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和滿足：n＜T_n＜n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$．
∴2015＜T₂₀₁₅＜2015+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2016}）$，
∴滿足T₂₀₁₅≥M的M的最大值為2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和、“放縮法”、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．