Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+ax+2．
（1）對(duì)任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（2）若對(duì)于a∈[-1，1]，f（x）＜-a+5恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得ax²+ax+2＞0恒成立，對(duì)a討論，分a=0，a＞0且判別式小于0，當(dāng)a＜0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得ax²+ax+2＜-a+5，在a∈[-1，1]恒成立，即有a（x²+x+1）-3＜0，令g（a）=a（x²+x+1）-3，a∈[-1，1]，則g（-1）＜0，且g（1）＜0，解不等式組求交集，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）對(duì)任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，
即為ax²+ax+2＞0恒成立，
可得當(dāng)a=0時(shí)，2＞0恒成立；
當(dāng)a＞0，判別式△=a²-8a＜0，解得0＜a＜8，
當(dāng)a＜0時(shí)，ax²+ax+2＞0不恒成立．
綜上可得a的范圍是0≤a＜8；
（2）對(duì)于a∈[-1，1]，f（x）＜-a+5恒成立，
即為ax²+ax+2＜-a+5，在a∈[-1，1]恒成立，
即有a（x²+x+1）-3＜0，
令g（a）=a（x²+x+1）-3，a∈[-1，1]，
則g（-1）＜0，且g（1）＜0，
即有-（x²+x+1）-3＜0，且（x²+x+1）-3＜0，
即為x∈R且-2＜x＜1，
則x的范圍是（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法和轉(zhuǎn)化思想，考查構(gòu)造函數(shù)法的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．