Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）f（x）的圖象是由y=sinx的圖象通過怎樣平移而得到的；
（3）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求ω，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（3）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）的解析式，再由y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，可得方程sin2x=-$\frac{1}{2}$至少有10個(gè)解，則b的最小值4×π+$\frac{11π}{12}$，計(jì)算可得結(jié)果．

解答 解：（1）由題意得f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
由最小正周期為π，得ω=1，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，整理得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]，k∈Z$．
（2）將y=sinx的圖象先向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得到$y=sin（x-\frac{π}{3}）$的圖象，
再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
最后把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變得$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的圖象．
（或者將y=sinx的圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x的圖象，
再把所得的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的圖象，
最后把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變得$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的圖象）．
（3）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象，
所以g（x）=2sin2x+1，
令g（x）=0，得$x=kπ+\frac{7π}{12}$或$x=kπ+\frac{11π}{12}（k∈Z）$，
所以在[0，π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，
若y=g（x）在[0，b]上有10個(gè)零點(diǎn)，
則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，即b的最小值為4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題．