Question

17．已知點(diǎn)M（4，-4）在拋物線C：y²=2px上，直線l與C交于A，B，求其準(zhǔn)線上是否有存在一點(diǎn)N，使四邊形AMBN為菱形．

Answer 1

分析 把M坐標(biāo)代入拋物線方程，求得p值，則拋物線方程可求，然后設(shè)直線l的方程為y=kx+b，由菱形對(duì)角線的性質(zhì)求出滿足條件的k和b的值，直線方程可求，且N的坐標(biāo)可求．

解答 解：由點(diǎn)M（4，-4）在拋物線C：y²=2px上，得
（-4）²=8p，即p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
如圖，
設(shè)直線l方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點(diǎn)為P（x₀，y₀），
∵A，B在拋物線y²=4x上，
∴${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}，{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}$，作差得：${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}={x}_{1}-{x}_{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即$k=\frac{1}{2{y}_{0}}$，${y}_{0}=\frac{1}{2k}$，
則${x}_{0}=\frac{{y}_{0}-b}{k}=\frac{\frac{1}{2k}-b}{k}=\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}$．
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}，\frac{1}{2k}$），
又M（4，-4），
若拋物線準(zhǔn)線上存在點(diǎn)N，使四邊形AMBN為菱形，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{N}+4=\frac{1}{k}}\\{{y}_{N}-4=\frac{1-2kb}{{k}^{2}}}\end{array}\right.$，得N（$\frac{1}{k}-4，\frac{1-2kb}{{k}^{2}}+4$），
N需滿足$\frac{1}{k}-4=-1$，即$k=\frac{1}{3}$，此時(shí)N（-1，13-6b），
且$\frac{1}{3}{k}_{MN}=-1$，即$\frac{1}{3}•\frac{-4-13+6b}{4-（-1）}=-1$，解得：b=$\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)直線l為$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$時(shí)，直線l與C交于A，B，其準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)N（-1，11），使四邊形AMBN為菱形．

點(diǎn)評(píng) 該題考查拋物線的方程性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力及運(yùn)算求解能力，是中檔題．