Question

13．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB=BD=AD，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求證：△BDE是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面EOC，從而EO⊥BD，即OE是BD的垂直平分線(xiàn)；
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，MN，易證MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC；

解答 證明：（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)CO，EO，
∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，由于O為BD的中點(diǎn)，所以BE=DE；
所以△BDE是等腰三角形；
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，

∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，考查線(xiàn)面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應(yīng)用，著重考查分析推理能力與表達(dá)、運(yùn)算能力，屬于中檔題