Question

2．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$的最小值為49．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值，確定a，b的關(guān)系，利用基本不等式求$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$的最小值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），則$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
平移直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大為1．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$．即A（3，4），
代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+by得3a+4b=1．
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$）（3a+4b）=9+16+$\frac{12b}{a}$+$\frac{12a}$=≥25+2$\sqrt{\frac{12b}{a}•\frac{12a}}$=25+24=49，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{12b}{a}$=$\frac{12a}$即a=b時取等號，
∴$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$的最小值為49．
故答案為：49．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，利用基本不等式的性質(zhì)可求$\frac{3}{a}$+$\frac{4}$的最小值．