Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過點M（a，0）（a≠0）的直線l與C交于A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）兩點．
（1）若a=$\frac{p}{2}$，求證：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$是定值（O是坐標(biāo)原點）；
（2）若y₁•y₂=m（m是確定的常數(shù)），求證：直線AB過定點，并求出此定點坐標(biāo)；
（3）若AB的斜率為1，且|AB|≤2p，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{p}{2}$時，設(shè)過點M的直線l為x=ty+$\frac{p}{2}$，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$為定值；
（2）設(shè)出直線AB的方程為x=ty+n，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得出y₁y₂的值，再由題意列出方程求出n的值，即可得出直線AB過定點；
（3）由題意寫出直線AB的方程為y=x-a，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式△＞0，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{p}{2}$時，點M（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)直線l：x=ty+$\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消去x，得
y²-2pty-p²=0，…2分
所以y₁y₂=-p²，
則x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{•y}_{2}}^{2}}{{4p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；…4分
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-$\frac{{3p}^{2}}{4}$為定值；…5分
（2）設(shè)直線AB：x=ty+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=ty+n}\end{array}\right.$，消去x，得
y²-2pty-2pn=0，…7分
所以y₁y₂=-2pn，
又y₁•y₂=m，則-2pn=m，即n=-$\frac{m}{2p}$；…9分
則直線AB過定點（-$\frac{m}{2p}$，0）；…10分
（3）由題意：直線AB的方程為：y=x-a，
代入拋物線得：x²-2（a+p）x+a²=0，
由△=4（a+p）²-4a²＞0得：a＞-$\frac{p}{2}$；…13分
x₁+x₂=2（a+p），x₁x₂=a²，
所以|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$$\sqrt{2ap{+p}^{2}}$≤2p，
解得a≤-$\frac{p}{4}$；…15分
所以a的取值范圍是（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{4}$]…16分．

點評 本題考查了直線與拋物線方程的應(yīng)用問題，也考查了直線過定點以及弦長公式的應(yīng)用問題，考查了二元二次方程組的應(yīng)用問題，是綜合性題目．