Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），且滿足a+b=3$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為$\frac{1}{2}$的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂，試問k₁+k₂是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=$\sqrt{2}$，由條件可得a，即可求出橢圓C的方程；
（2）k₁+k₂為定值，且k₁+k₂=0，證明如下：設(shè)直線在y軸上的截距為m，推出直線的方程，然后兩條直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及判別式求出k₁+k₂，然后化簡求解即可．

解答 解：（1）由題意可得b=$\sqrt{2}$，
又a+b=3$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）k₁+k₂為定值0，證明如下：
設(shè)直線在y軸上的截距為m，所以直線的方程為y=$\frac{1}{2}$x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0．
當(dāng)△=4m²-8m²+16＞0，即-2＜m＜2時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m．x₁•x₂=2m²-4，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
故k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
又y₁=$\frac{1}{2}$x₁+m，y₂=$\frac{1}{2}$x₂+m，
所以（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=（$\frac{1}{2}$x₁+m-1）（x₂-2）+（$\frac{1}{2}$x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁•x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．