Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²+bx（e為自然對數(shù)的底，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）在x=0處的切線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-1）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得曲線y=f（x）所有切線的斜率都不小于2？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值集合，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0），再求出f（0），由兩點(diǎn)求斜率公式列式求得b；
（Ⅱ）記g（x）=f′（x）=e^x+2ax+1，曲線y=f（x）所有切線的斜率都不小于2等價(jià)于g（x）≥2對任意的實(shí)數(shù)R恒成立，求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a≥0和a＜0分類求解得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax²+bx，
∴f′（x）=e^x+2ax+b，
∴f′（0）=1，又f（0）=1，
∴1+b=$\frac{1-（-1）}{0-（-1）}=2$，則b=1；
（Ⅱ）記g（x）=f′（x）=e^x+2ax+1，
曲線y=f（x）所有切線的斜率都不小于2等價(jià)于g（x）≥2對任意的實(shí)數(shù)R恒成立，
g′（x）=e^x+2a，
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜g（0）=2；
當(dāng)a＜0時(shí)，由g′（x）=0，得x=ln（-2a），且x＜ln（-2a）時(shí)，g′（x）＜0，x＞ln（-2a）時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)為ln（-2a），又g（0）=2，
∴l(xiāng)n（-2a）=0，得a=-$\frac{1}{2}$．
∴存在實(shí)數(shù)a，使得曲線y=f（x）所有切線的斜率都不小于2，實(shí)數(shù)a的集合為{$-\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．