Question

2．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，并可求出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，從而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 證明：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
$f（-x）=-x-\frac{1}{-x}=-（x-\frac{1}{x}）=-f（x）$；
∴f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，x₁x₂+1＞0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義及判斷方法和過程，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂．