Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF₁⊥PF₂，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1}）$
• B． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 解設(shè)點(diǎn)P（x，y），由PF₁⊥PF₂，得x²+y²=c²，與橢圓方程式聯(lián)立方程組，能求出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴離心率0＜e＜1，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c²=a²-b²，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），由PF₁⊥PF₂，得（x-c，y）•（x+c，y）=0，化簡(jiǎn)得x²+y²=c²，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理，得x²=$（2{c}^{2}-{a}^{2}）•\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}≥0$，
解得e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線垂直等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．