Question

12．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=12．將矩形紙片在右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，設EF=l，∠EFB=θ，那么的l長度取決于角θ的大�。�
（1）寫出用θ表示l的函數(shù)關系式，并給出定義域；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知及對稱性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的邊角關系可得：$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，可得BF=$\frac{6}{sin2θ}$≤12，可得$sin2θ≥\frac{1}{2}$，又顯然$θ≤\frac{π}{4}$，即可得出函數(shù)定義域．
（2）由$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}=\frac{3}{{sinθ-{{sin}^3}θ}}$，$sinθ∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，令f（x）=x-x³（$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$），利用導數(shù)研究其單調性即可得出．

解答 解：（1）由已知及對稱性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，
又∠GEA=∠GFB=2θ，
∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，
又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，
即所求函數(shù)關系式為$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}$，
由BF=lcosθ=$\frac{6cosθ}{sinθ（1+cos2θ）}$=$\frac{6}{sin2θ}$≤12，$sin2θ≥\frac{1}{2}$，
又顯然$θ≤\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{4}$，
即函數(shù)定義域為$[\frac{π}{12}，\frac{π}{4}]$．
（2）∵$l=\frac{6}{sinθ（1+cos2θ）}=\frac{3}{{sinθ-{{sin}^3}θ}}$，$sinθ∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
令f（x）=x-x³（$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$），
f′（x）=1-3x²=$-3（x+\frac{\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{\sqrt{3}}{3}）$≥0，
∴函數(shù)f（x）在$x∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$單調遞增，
∴當$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，${f_{max}}（x）=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
∴l(xiāng)的最小值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了矩形的對折問題、直角三角形的邊角關系、倍角公式、三角函數(shù)的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．