Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜$\sqrt{2}$），斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1）共線．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓上移動(dòng)（直線AB不過點(diǎn)P），且直線PA、PB分別與直線l：x=2相交，交點(diǎn)記為M、N，試問M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線和橢圓方程聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合共線向量得到關(guān)于b的方程，求出b的值即可；
（Ⅱ）先求出PB、PA的方程，令x=2，分別求出y_M，y_N，從而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線AB：y=x-c，聯(lián)立橢圓方程得：（b²-2）x²-4cx+2c²-2b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=$\frac{4c}{^{2}-2}$，x₁•x₂=$\frac{{2c}^{2}-{2b}^{2}}{^{2}-2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{4c}{^{2}+2}$，$\frac{-{2b}^{2}c}{^{2}+2}$），
而向量$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1）共線，

∴$\frac{\frac{4c}{^{2}+2}}{\frac{-{2b}^{2}c}{^{2}+2}}$=$\frac{2}{-1}$，
∴b=1．
（Ⅱ）易得A（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），B（0，-1），
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則直線PB的方程：y=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x-1，
令x=2可得：y_N=$\frac{{2y}_{0}{-x}_{0}+2}{{x}_{0}}$，
同理y_M=$\frac{{x}_{0}+{2y}_{0}-2}{{3x}_{0}-4}$，
∴y_M•y_N=$\frac{{（{2y}_{0}）}^{2}{-{（x}_{0}-2）}^{2}}{{x}_{0}（{3x}_{0}-4）}$=$\frac{-{{3x}_{0}}^{2}+{4x}_{0}}{{{3x}_{0}}^{2}-{4x}_{0}}$=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查共線向量問題，是一道中檔題．