Question

9．已知${（2{x^2}-\frac{1}{x}）^n}$的展開式二項式系數(shù)和比它的各項系數(shù)和大31．
（Ⅰ）求展開式中含有x⁴的項；
（Ⅱ）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出n，再利用通項公式求展開式中含有x⁴的項；
（Ⅱ）展開式共6項，二項式系數(shù)最大項為第三、四項，即可求展開式中二項式系數(shù)最大的項．

解答 解：令x=1得展開式各項系數(shù)和為1ⁿ，二項式系數(shù)為2ⁿ，
由題意得：2ⁿ-1ⁿ=31，解得n=5．（3分）
（Ⅰ）${T_{r+1}}=C_5^r{（2{x^2}）^{5-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}={（-1）^r}{2^{5-r}}C_5^r{x^{10-3r}}$，當(dāng)10-3r=4⇒r=2，
∴${T_3}=C_5^2{（2{x^2}）^3}{（-\frac{1}{x}）^2}=80{x^4}$為所求．（6分）
（Ⅱ）∵n=5，∴展開式共6項，二項式系數(shù)最大項為第三、四項，（8分）
∴${T_3}=C_5^2{（2{x^2}）^3}{（-\frac{1}{x}）^2}=80{x^4}$，${T_4}=C_5^3{（2{x^2}）^2}{（-\frac{1}{x}）^3}=-40x$為所求．（10分）

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．