Question

17．已知直線l₁：3x+4y-5=0，圓O：x²+y²=4．
（1）求直線l₁被圓O所截得的弦長(zhǎng)；
（2）如果過點(diǎn)（-1，2）的直線l₂與l₁垂直，l₂與圓心在直線x-2y=0上的圓M相切，圓M被直線l₁分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)之比為2：1，則圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）先利用點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求得弦長(zhǎng)．
（2）設(shè)出圓心M的坐標(biāo)和半徑，根據(jù)題意建立等式求得a，則圓心坐標(biāo)可得，利用點(diǎn)到直線的距離求得半徑，則圓的方程可得．

解答 解：（1）由題意得：圓心到直線l₁：3x+4y-5=0的距離d=$\frac{|0+0-5|}{\sqrt{9+16}}$=1，
由垂徑定理得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$；
（2）過點(diǎn)（-1，2）的直線l₂與l₁垂直的方程為y-2=$\frac{4}{3}$（x+1）．
設(shè)圓心M為（a，$\frac{1}{2}a$），圓心M到直線l₂的距離為r，即圓的半徑，
由題意可得，圓心M到直線l₁：3x+4y-5=0的距離為1，圓半徑為2，
故圓心M到直線l₁的距離為$\frac{r}{2}$，
所以有：$\frac{|4a-\frac{3}{2}a+10|}{5}=\frac{2×|3a+2a-5|}{5}=\frac{r}{2}$，
解得：a=$\frac{8}{3}$，a=0（舍去），
所以圓心為M（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），r=$\frac{10}{3}$，所以所求圓方程為：（x-$\frac{8}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{100}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)．考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．