Question

3．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）若不等式f（1）＜1，a為整數(shù)，求a的值；
（2）若對一切x∈（0，1]，f（x）＜1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入不等式，解不等式|1-a|＜1即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$＜a＜${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$，分別求出函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的最大值和函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的最小值即可．

解答 解：（1）f（1）=|1-a|＜1，
則-1＜1-a＜1，解得：0＜a＜2；
（2）|a-x|＜$\frac{1}{x}$?x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，
故對一切x∈（0，1]都有：
${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$＜a＜${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$，
而函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$，y′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，故函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$是增函數(shù)，
y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＜0，故函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$是減函數(shù)，
故${（x-\frac{1}{x}）}_{max}$=0，${（x+\frac{1}{x}）}_{min}$=2
故a∈（0，2），
故a=1．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．