Question

15．已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=4x上相異兩點(diǎn)，且滿足x₁+x₂=4，若AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則AMB的面積的最大值是（　�。�

• A． $\frac{16\sqrt{6}}{3}$
• B． 8
• C． $\frac{5\sqrt{15}}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 通過設(shè)AB中點(diǎn)為P（2，t），可得直線AB的方程并與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式、面積公式及換元法計(jì)算即可．

解答 解：當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，顯然不符合題意．
設(shè)AB中點(diǎn)為P（2，t），于是k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{t}$，
∴可設(shè)直線AB的方程為y-t=$\frac{2}{t}$（x-2），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-t=\frac{2}{t}（x-2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2ty+2t²-8=0，
∴y₁+y₂=2t，y₁y₂=2t²-8，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{4}）（4{t}^{2}-8{t}^{2}+32）}$=$\sqrt{\frac{4+{t}^{2}}{4}（32-4{t}^{2}）}$，
由k_AB•k_MP=-1，可得k_MP=-$\frac{t}{2}$，∴MP：y-t=-$\frac{t}{2}$（x-2），
令y=0，可得M（4，0），
∴|MP|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-t）^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
于是S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•|MP|=$\frac{1}{2}$（4+t²）$\sqrt{8-{t}^{2}}$，
令m=$\sqrt{8-{t}^{2}}$，則S=$\frac{1}{2}$（12-m²）•m=-$\frac{1}{2}$m³+6m，
∵S′=-$\frac{3}{2}$m²+6=-$\frac{3}{2}$（m+2）（m-2），
∴S′＞0⇒0＜m＜2，S′＜0⇒m＞2，
∴當(dāng)m=2時(shí)，（S_△MAB）_max=8，此時(shí)t²=4．
故選：B．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，涉及到韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式、函數(shù)的單調(diào)性及換元法等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．