Question

7．已知一橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)在x軸上，若其左焦點(diǎn)F₁（-c，0）（c＞0）到圓C：（x-2）²+（y-4）²=1上任意一點(diǎn)距離的最小值為4，且過橢圓右焦點(diǎn)F₂（c，0）與上頂點(diǎn)的直線與圓O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=-x+m與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求△F₁AB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓E的方程，由橢圓的右焦點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為4列式求得c，再寫出過橢圓右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的想方程，由直線和圓O相切列式求得b的值，結(jié)合隱含條件求出a，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后由△＞0求得M的范圍．利用弦長(zhǎng)公式把圓的半徑用含有m的代數(shù)式表示，由已知條件列式求得m的值，再求出點(diǎn)F₁到直線AB的距離，然后對(duì)m分類求得△F₁AB的面積．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則橢圓的右焦點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為：
$\sqrt{（-c-2）^{2}+{4}^{2}}-1=4$，又c＞0，∴c=1．
過橢圓右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的想方程為$\frac{x}{1}+\frac{y}=1$，即bx+y-b=0．
由直線和圓O相切可得$\frac{|-b|}{\sqrt{1+^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=1，∴a²=b²+c²=2．
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=-x+m}\end{array}\right.$，可得3x²-4mx+2m²-2=0．
則△=（-4m）²-12（2m²-2）＞0，即m²＜3．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
則AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{2m}{3}$．
則以AB為直徑的圓的半徑為r=$\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{2}}{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
由條件可得$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=|\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}|$．
整理可得$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}=8{x}_{1}{x}_{2}$，即$（\frac{4m}{3}）^{2}=8•\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
∴${m}^{2}=\frac{3}{2}＜3$，解得$m=-\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
此時(shí)，|AB|=$\sqrt{（1+1）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}=\sqrt{2[\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{3}]}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
點(diǎn)F₁到直線AB的距離為d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，△F₁AB的面積為S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{2}}（1+\frac{\sqrt{6}}{2}）=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{6}$．
當(dāng)m=$-\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，△F₁AB的面積為S=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{2}}（-1+\frac{\sqrt{6}}{2}）=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．