Question

18．已知關(guān)于x的方程（2p²+1）x²-5px-2=0（p∈R）有兩個(gè)實(shí)根
（1）當(dāng)p=1時(shí)，在△ABC中，角A，B，C為三角形內(nèi)角，tanA，tanB是方程的兩個(gè)根．
①求角C．②AC=3，BC=$\sqrt{2}$，D在AB上，AD=DC，求CD的長．
（2）M（x₁，px₁+1），N（x₂，px₂+1），T（0，1）．且x₁，x₂為方程的兩個(gè)實(shí)根．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)p=1時(shí)，求出一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義分別求出$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$和$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的表達(dá)式，建立方程進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)p=1時(shí)，方程等價(jià)為3x²-5x-2=0，
∵tanA，tanB是方程的兩個(gè)根，
∴tanA+tanB=$\frac{5}{3}$，tanAtanB=-$\frac{2}{3}$，
則tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{5}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=-1，則C=$\frac{3π}{4}$．
（2）AB²=9+2-2×$3\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=17，
則AB=$\sqrt{17}$，
由正弦定理得$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{\sqrt{17}}{sin\frac{3π}{4}}$，得sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，cosA=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
設(shè)CD=AD=t，則t²=9+t²-2×3t•$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，得t=$\frac{3\sqrt{17}}{8}$．
（2）$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+p²x₁x₂+p（x₁+x₂）+1，
$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=x₁x₂+p²x₁x₂，
∵x₁+x₂=$\frac{5p}{2{p}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{2}{2{p}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（1+λ）（1+p²）x₁x₂+p（x₁+x₂）+1
=（1+λ）（1+p²）（-$\frac{2}{2{p}^{2}+1}$）+p•$\frac{5p}{2{p}^{2}+1}$+1
=$\frac{5{p}^{2}-1-2λ-2λ{(lán)p}^{2}}{2{p}^{2}+1}$=$\frac{（5-2λ）{p}^{2}-（2λ+1）}{2{p}^{2}+1}$
=$\frac{（\frac{5}{2}-λ）（2{p}^{2}+1）-λ-\frac{7}{2}}{2{p}^{2}+1}$=$\frac{5}{2}$-λ-$\frac{λ+\frac{7}{2}}{2{p}^{2}+1}$，
則當(dāng)λ=-$\frac{7}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=6為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．