Question

17．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，E為SC的中點，SD=AD．
（1）求證：SA∥平面BDE；
（2）求直線SB與平面SAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結AC，交BD于O，連結OE，推導出OE∥SA，由此能證明SA∥平面BDE．
（2）由已知得AB⊥AD，AB⊥SD，從而AB⊥平面SAD，∠ASB是直線SB與平面SAD所成角，由此能求出直線SB與平面SAD所成角的正切值．

解答 證明：（1）連結AC，交BD于O，連結OE，
∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
∴O是AC的中點，
∵E為SC的中點，∴OE∥SA，
∵OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴SA∥平面BDE．
解：（2）∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，
∴AB⊥AD，AB⊥SD，
又SA∩SD=S，∴AB⊥平面SAD，
∴∠ASB是直線SB與平面SAD所成角，
∵SD=AD=1，∴SA=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，AB=1，AB⊥SA，
∴tan$∠ASB=\frac{AB}{SA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線SB與平面SAD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．