Question

2．下列有關(guān)命題的說法正確的有①②④⑥⑦⑧
①已知命題p：-4＜x-a＜4，命題q：（x-1）（x-3）＜0，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍是[-1，5]；
②已知命題p：若$\overrightarrow{a}$=（1，2）與$\overrightarrow$=（-2，λ）共線，則λ=-4，命題q：?k∈R，直線y=kx與圓x²+y²-2y=0相交，則￢p∨q是真命題；
③命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；
④命題“若x=v，則cosx=cosv”的逆否命題為真命題；
⑤命題“若am²＜bm²，則a＜b”的逆命題是真命題；
⑥若x，y∈R，則“x=y“是xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²成立的充要條件；
⑦對命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，則￢p：?x∈R，則x²+x+1≥0；
⑧命題“若a＞b，則2^a＞2^b-1”的否命題為“若a≤b，則2^a≤2^b-1”．

Answer 1

分析 ①先求出命題p，q成立的等價條件，利用充分而不必要條件的定義，即可得到結(jié)論．
②利用向量共線判斷P的正誤，判斷命題q的正誤，判斷說明真假．
③利用特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系判斷正誤即可．
④利用四種命題的等價關(guān)系判斷正誤即可．
⑤寫出逆命題，然后判斷真假即可．
⑥利用特例判斷充要條件即可．
⑦利用特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系判斷正誤即可．
⑧利用四種命題的逆否關(guān)系寫出結(jié)果即可．

解答 解：對于①，由-4＜x-a＜4得a-4＜x＜a+4，
由（x-1）（x-3）＜0得1＜x＜3，
∵q是p的充分而不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+4≥3\\ a-4≤1\end{array}\right.$，
∴-1≤a≤5，即a的取值范圍是[-1，5]．所以①正確．
對于②，已知命題p：若$\overrightarrow{a}$=（1，2）與$\overrightarrow$=（-2，λ）共線，可得-4=λ即λ=-4，所以P正確；￢p錯誤．
命題q：?k∈R，直線y=kx與圓x²+y²-2y=0表示以（0，1）為圓心以1為半徑的圓，圓過原點，所以直線y=kx與圓x²+y²-2y=0相交，q是真命題，則￢p∨q是真命題；所以②正確．
對于③，命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；不滿足命題的否定形式，所以③不正確．
對于④，命題“若x=v，則cosx=cosv”是真命題，所以它的逆否命題為真命題；④正確．
對于⑤，命題“若an²＜bn²，則a＜b”的逆命題是：若a＜b，an²＜bn²，當n≠0時，an²＜bn²．所以⑤不正確．
對于⑥，若x，y∈R，則“x=y”可得xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²成立，若x，y∈R，xy≥（$\frac{x+y}{2}$）²，可得0≥（x-y）²，
可得x=y，所以判斷為充要條件；正確．
對于⑦，對命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，則￢p：?x∈R，則x²+x+1≥0，滿足特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，正確．
對于⑧，命題“若a＞b，則2^a＞2^b-1”的否命題為“若a≤b，則2^a≤2^b-1”．滿足否命題的形式，正確．
故正確結(jié)果為：①②④⑥⑦⑧．
故答案為：①②④⑥⑦⑧．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，命題的否定，四種命題的逆否關(guān)系，命題的真假的判斷與應(yīng)用，利用不等式的解法求出不等式的解是解決本題的關(guān)鍵．