Question

7．已知f（x）=$\frac{-lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$，證明f（x）＞$\frac{lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，可得lnx≥$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$，
x∈（0，1），g′（x）＜0，x＞1，g′（x）＞0，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴l(xiāng)nx-$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$≥0，
∴l(xiāng)nx≥$\frac{{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
x∈（0，1），lnx•$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$＜$\frac{1}{x}$，∴$\frac{-lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$＞$\frac{lnx}{x-1}$，∴f（x）＞$\frac{lnx}{x-1}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造法的運用，屬于中檔題．