Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．依題意

，所以．

又，所以．

于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                ………………  5分

（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則

由得．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image264.gif'>,得．  ……………… ①

設(shè)，線段中點(diǎn)為，則

于是．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image271.gif'>，線段中點(diǎn)為，所以．

（1）當(dāng)，即且時(shí)，

，整理得．      ………………②

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/03/05/2014040305363515458974.files/image279.gif'>，，

所以

，

整理得，解得或．

當(dāng)時(shí)，由②不合題意舍去.

由①②知，時(shí)，．

（2）當(dāng)時(shí)，

（�。┤�時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.

設(shè)，,依題意，若△為等腰直角三角形，則

.即，解得或.不合題意舍去，

即此時(shí)直線的方程為.

（ⅱ）若且時(shí)，即直線過原點(diǎn).依橢圓的對(duì)稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足△為等腰直角三角形.

綜上，直線的方程為或或. ………………14分