Question

16．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，AA₁=2AB，則異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)長方體相對(duì)的平面上的兩條對(duì)角線平行，得到兩條異面直線所成的角，這個(gè)角在一個(gè)可以求出三邊的三角形中，利用余弦定理得到結(jié)果．

解答 解：連接BC₁，A₁C₁，
則BC₁∥AD₁，
∴∠A₁BC₁是兩條異面直線所成的角，
在直角△A₁AB中，由AA₁=2AB得到：A₁B=$\sqrt{5}$AB．
在直角△BCC₁中，CC₁=AA₁，BC=AB，則C₁B=$\sqrt{5}$AB．
在直角△A₁B₁C₁中A₁C₁=$\sqrt{2}$AB，
則cos∠A₁BC₁=$\frac{5A{B}^{2}+5A{B}^{2}-2A{B}^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}A{B}^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，本題解題的關(guān)鍵是先做出角，再證明角就是要求的角，最后放到一個(gè)可解的三角形中求出．