Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值，若對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，則實數(shù)c的取值范圍為（　　）

• A． （-1，9）
• B． （-9，1）
• C． （-∞，-1）∪（9，+∞）
• D． （-∞，-9）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件得f′（1）=0，f′（2）=0．求解即可求出a，b的值，若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²在區(qū)間[0，3]上成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[0，3]上的最大值，進一步求c的取值范圍．

解答 解：函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=4．
即f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
由f′（x）＞0得0＜x＜1或2＜x＜3；
由f′（x）＜0得1＜x＜2．
故當(dāng)x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
則當(dāng)x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c．
∵對于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c²恒成立，
∴9+8c＜c²，
解得c＜-1或c＞9，
因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）．
故選：C

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題和易錯題