Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證： ；
（3）判斷曲線y=f（x）是否位于x軸下方，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），

（1） ，又 ，

曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為 ．

即

（2）“要證明 ”等價于“ ”．

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx．

令g'（x）=1+lnx=0，解得 ．

x
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘		↗

因此，函數(shù)g（x）的最小值為 ．故 ．

即 ．

（3）曲線y=f（x）位于x軸下方．理由如下：

由（2）可知 ，所以 ．

設(shè) ，則 ．

令k'（x）＞0得0＜x＜1；令k'（x）＜0得x＞1．

所以k（x）在（0，1）上為增函數(shù)，（1，+∞）上為減函數(shù)．

所以當(dāng)x＞0時，k（x）≤k（1）=0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，k（1）=0．

又因為 ，所以f（x）＜0恒成立．

故曲線y=f（x）位于x軸下方.

【解析】（1） f ' ( 1 )可表示函數(shù)在自變量為1處點的切線斜率；（2）將本小題的問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)g（x）=xlnx的最值問題；（3）判斷曲線y=f（x）是否位于x軸下方即判斷函數(shù)值是否恒小于0.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．