Question

2．在菱形ABCD中，A=60°，AB=$\sqrt{3}$，將△ABD折起到△PBD的位置，若三棱錐P-BCD的外接球的體積為$\frac{7\sqrt{7}π}{6}$，則二面角P-BD-C的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Answer 1

分析 取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則∠PEC是二面角P-BD-C的平面角，由此能求出二面角P-BD-C的正弦值．

解答 解：取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則∠PEC是二面角P-BD-C的平面角，
PE=CE=$\frac{3}{2}$，
三棱錐P-BCD的外接球的半徑為R，則$\frac{4}{3}×π×{R}^{3}=\frac{7\sqrt{7}π}{6}$，
解得R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
設(shè)△BCD的外接圓的圓心F與球心O的距離為OF=h，
則CF=$\frac{2}{3}CE$=1，
則R²=1+h²，即$\frac{7}{4}=1+{h}^{2}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
過P作PG⊥平面BCD，交CE延長線于G，過O作OH∥CG，交PG于H，
則四邊形HGFO是矩形，且HG=OF=h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PO=R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{E{G}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}+PH）^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}}\\{（\frac{1}{2}+EG）^{2}+P{H}^{2}=（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得GE=$\frac{3}{4}$，PH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴PG=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，CG=$\frac{9}{4}$，
∴PC=$\sqrt{\frac{27}{16}+\frac{81}{16}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠PEC=$\frac{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-\frac{27}{4}}{2×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠PEC=$\sqrt{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角P-BD-C的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P-BCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．