Question

7．如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F．求證：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析 連接AD，利用AB為圓的直徑結合EF與AB的垂直關系，通過證明A，D，E，F(xiàn)四點共圓知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用線段間的關系即求得AB²=BE•BD-AE•AC．

解答 證明：連接AD，因為AB為圓的直徑
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°，
則A，D，E，F(xiàn)四點共圓，
∴BD•BE=BA•BF，
又△ABC∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即AB•AF=AE•AC
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB²．

點評 本小題主要考查與圓有關的比例線段、四點共圓的證明方法、三角形相似等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．