Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，${a_1}=-1，{a_{n+1}}=2{a_n}+3n-1（{n∈{N^*}}）$，則其前n項和S_n=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}中，${a_1}=-1，{a_{n+1}}=2{a_n}+3n-1（{n∈{N^*}}）$，可得：a₂=0，n≥2時，a_n=2a_n-1+3n-4，作差可得a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1+3，化為a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n-a_n-1+3，利用“累加求和”方法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁．再利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，${a_1}=-1，{a_{n+1}}=2{a_n}+3n-1（{n∈{N^*}}）$，
∴a₂=0，n≥2時，a_n=2a_n-1+3n-4，
∴a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1+3，化為a_n+1-a_n+3=2（a_n-a_n-1+3），a₂-a₁+3=2．
∴數(shù)列{a_n-a_n-1+3}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n-a_n-1+3=2ⁿ，即a_n-a_n-1=2ⁿ-3．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2ⁿ-3+2^n-1-3+…+2²-3-1=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-3（n-1）-1
=2ⁿ⁺¹-3n-2．
∴S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-3×$\frac{n（n+1）}{2}$-2n
=2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．
故答案為：2ⁿ⁺²-4-$\frac{3{n}^{2}+7n}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．