Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB₁∩A₁B=E，D為AC上的點，B₁C∥平面A₁BD．
（1）求證：BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）若AB=1，且AC•AD=1，求二面角B-A₁D-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：連結ED，推導出B₁C∥ED，BD⊥AC，A₁A⊥BD，由此能證明BD⊥平面A₁ACC₁．
法二：連結ED，推導出A₁A⊥平面ABC，由平面A₁ACC₁⊥平面ABC，能證明BD⊥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz，利用向量法能求出二面角B-A₁D-B₁的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結ED，（1分）
∵平面AB₁C∩平面A₁BD=ED，B₁C∥平面A₁BD，
∴B₁C∥ED，（2分）
∵E為AB₁中點，∴D為AC中點，
∵AB=BC，∴BD⊥AC①，（3分）
法一：由A₁A⊥平面ABC，BD?平面ABC，得A₁A⊥BD，②，
由①②及A₁A、AC是平面A₁ACC₁內(nèi)的兩條相交直線，
得BD⊥平面A₁ACC₁．（5分）
法二：由A₁A⊥平面ABC，A₁A?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，又平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
得BD⊥平面A₁ACC₁．
解：（Ⅱ）由AB=1，得BC=BB₁=1，
由（Ⅰ）知DA=$\frac{1}{2}$AC，又AC•DA=1，得AC²=2，（6分）
∵AC²=2=AB²+BC²，∴AB⊥BC，（7分）
如圖以B為原點，建立空間直角坐標系B-xyz，如圖示，
則A₁（1，0，1），B₁（0，0，1），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
得$\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}$=（1，0，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-1$），
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面A₁B₁D的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），（9分）
設$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）為平面A₁BD的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\frac{a}{2}+\frac{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=a+c=0}\end{array}\right.$，
令c=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），（10分）
依題意知二面角B-A₁D-B₁為銳二面角，設其大小為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角B-A₁D-B₁的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．（12分）
其它解法請參照給分．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．