Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$滿足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，則△ABC為（　　）

• A． 三邊均不相等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰非等邊三角形
• D． 等邊三角形

Answer 1

分析 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$是分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共線同向的單位向量，得出向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$角A的平分線共線，△ABC中∠A平分線與邊BC的高線重合，利用三角形的幾何性質(zhì)判斷即可．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$是分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共線同向的單位向量，
∴根據(jù)菱形的幾何意義得出：向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$角A的平分線共線，
∵（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴△ABC中∠A平分線與邊BC的高線重合，
∴AB=AC，
∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，
∴1×1×cos∠A=$\frac{1}{4}$，
即∠A是不等于60°的銳角，
∴△ABC為等腰三角形，但不是等邊三角形．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，數(shù)量積的運用判斷角的問題，平面幾何圖形的幾何性質(zhì)，考查了圖形的運用能力．