Question

2．已知集合M={x，xy，lg（xy）}，N={0，|x|，y}，并且M=N，求值：（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+（x³+$\frac{1}{{y}^{3}}$）+…+（x²⁰⁰⁴+$\frac{1}{{y}^{2004}}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)集合相等以及集合中元素的確定性，互異性，求出x=y=-1，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$，當n為奇數(shù)時，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=-2，當n為偶數(shù)時，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=2，繼而求出答案．

解答 解：∵集合M={x，xy，lg（xy）}，N={0，|x|，y}，并且M=N，
∴xy=1，
由M=N知M中應(yīng)有一元素為0，知x，y和xy不能都≠0，從而x≠0，y≠0，故只有l(wèi)g（xy）=0，xy=1，
M={x，xy，0}；
若x=|x|，則xy=y，x=1，y=1，M=N={1，1，0}與集合中元素互異性相連，故不成立，
若x=y，因為xy=1，解得x=-1，或x=1（舍去），y=-1，
∴x=y=-1，
∵xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$，當n為奇數(shù)時，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=-2，當n為偶數(shù)時，xⁿ+$\frac{1}{{y}^{n}}$=2，
∴（x+$\frac{1}{y}$）+（x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$）+（x³+$\frac{1}{{y}^{3}}$）+…+（x²⁰⁰⁴+$\frac{1}{{y}^{2004}}$）=（-2+2）+（-2+2）+…（-2+2）=0．

點評 本題考查集合相等的條件和集合元素的特征，屬于中檔題．