8．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．

分析 用條件3x+2y+z=1，構(gòu)造柯西不等式$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$進(jìn)行解題即可

解答 解：由柯西不等式，$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$，…（4分）
所以${x^2}+2{y^2}+3{z^2}≥\frac{3}{34}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{3}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}$，即$x=\frac{9}{34}，y=\frac{3}{34}，z=\frac{1}{34}$時(shí)，等號(hào)成立，
所以x2+2y2+3z2的最小值為$\frac{3}{34}$．                           …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的最值，以及柯西不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用$[{{{（x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{3}z）}^2}}]•[{{3^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}}]≥{（3x+2y+z）^2}=1$進(jìn)行解決．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$滿足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，則△ABC為（　　）
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．某射手平時(shí)射擊成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表：
環(huán)數(shù)7環(huán)以下78910
概率0.13ab0.250.24
已知他射中7環(huán)及7環(huán)以下的概率為0.29．
（1）求a和b的值；
（2）求命中10環(huán)或9環(huán)的概率；
（3）求命中環(huán)數(shù)不足9環(huán)的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1F2，離心率為e1；雙曲線C2：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為3F4，離心率為e2，已知e1e2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且|F2F4|=$\sqrt{3}$-1．
（1）求C1，C2的方程；
（2）過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為$\frac{1}{2}$，則此橢圓的方程為（　�。�
A．$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1B．$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1C．$\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1D．$\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．若a＜b＜0，則下列結(jié)論一定正確的是（　�。�
A．$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$B．$\frac{1}{|a|}$＞$\frac{1}{|b|}$C．ac2＜bc2D．（a+$\frac{1}$）2＞（b+$\frac{1}{a}$）2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．已知f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則（　�。�
A．x=e是f（x）的極大值點(diǎn)B．x=e時(shí)f（x）的極小值點(diǎn)
C．x=1是f（x）的極大值點(diǎn)D．x=1是f（x）的極小值點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．在△ABC中，A=60°，AC=3，AB=2，那么BC的長(zhǎng)度為$\sqrt{7}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，則向量$\overrightarrow{AD}$的坐標(biāo)為（　　）
A．（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）B．（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）C．（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）D．（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案