Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右頂點，點D（1，0），點P，B在橢圓上，且在x軸上方，$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$．
（1）求直線BD的方程；
（2）已知拋物線C：x²=2py（p＞0）過點P，點Q是拋物線C上的動點，設點Q到點A的距離為d₁，點Q到拋物線C的準線的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得BP=DA=2，P（1，2），B（-1，2），由此能求出直線BD的方程．
（2）由已知求出p=$\frac{1}{4}$，d₂=|QF|，從而當A、Q、F三點共線時，d₁+d₂有最小值．

解答 解：（1）∵BP=DA，且A（3，0），D（1，0），
∴BP=DA=2，而B、P關(guān)于y軸對稱，
∴點P的橫坐標為1，從而得到P（1，2），B（-1，2），
∴直線BD的方程為：$\frac{y}{x-1}=\frac{2}{-1-1}$，整理，得：x+y-1=0．
（2）∵拋物線C：x²=2py（P＞0）過點P（1，2），
∴4p=1，即p=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線C的焦點為F，則d₂=|QF|，
∴當A、Q、F三點共線時，d₁+d₂有最小值，
即（d₁+d₂）_min=|AF|=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{1}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{577}}{8}$．

點評 本題考查直線方程的求法，考查兩點間距離和點到拋物線的準線的距離之和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)和拋物線性質(zhì)的合理運用．