Question

11．已知點A（-1，0），B（1，0）直線AM，BM相交于點M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過定點F（0，1）作直線PQ與曲線C交于P、Q兩點，△OPQ的面積是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面積的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由k_MA×k_MB=-2，得$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（2）由已知當(dāng)直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是y=kx+1，與橢圓聯(lián)立，得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△OPQ面積的最大值．

解答 解：（1）解：設(shè)M（x，y），（1分）
則${k}_{MA}=\frac{y}{x+1}$，${k}_{MB}=\frac{y}{x-1}$，x≠1，（3分）
∴$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，
∴點M的軌跡C的方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，x≠±1．（未寫范圍扣一分）（4分）
（2）由已知當(dāng)直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y得（k²+2）x²+2kx-1=0，
∵△=（4k²）+4（k²+2）=8（k²+1）＞0，∴k∈R，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+2}$，…（7分）
${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}×|{OF}|×|{{x_1}-{x_2}}|$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}=\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+2}}$
=$\sqrt{2}×\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號，…（11分）
△OPQ面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．