Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若c=4，b=5，求向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影和|$\overrightarrow{BC}$|．

Answer 1

分析 （I）使用二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡即可得到cosA；
（II）使用余弦定理求出a，代入向量的投影公式即可．

解答 解：（I）∵2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$，
∴（1+cos（A-B））cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$，
即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$．
∴cosA=-$\frac{3}{5}$．
（II）向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影為|$\overrightarrow{AC}$|cosA=bcosA=-3．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=65．
∴|$\overrightarrow{BC}$|=a=$\sqrt{65}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，向量的投影，余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．