Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，M，N分別是AB，AC的中點．
（Ⅰ）若A=60°，用

AB

，

AC

表示

BN

，

CM

，并求

BN

•

CM

的值；
（Ⅱ）若

BN

⊥

CM

，求cos（A+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）利用向量的三角形法則和共線定理即可得出，再利用數(shù)量積的定義可得．再利用數(shù)量積的性質可得．
（Ⅱ）由BN⊥CM，可得

BN

•

CM

=0，再利用（Ⅰ）和向量的夾角公式即可得出cosA的值，再根據(jù)三角函數(shù)的和差公式求出即可．

解答： 解：（I）∵M，N分別是AB，AC的中點，
∴

BN

=

BA

+

AN

=-

AB

+

1

2

AC

，

CM

=

AM

-

AC

=

1

2

AB

-

AC

，
∵∠BAC=60°，AB=4，AC=3，
∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC|

cosA=4×3×cos60°=6．
∴

BN

•

CM

=（-

AB

+

1

2

AC

）•（

1

2

AB

-

AC

）=

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2=

5

2

×6-

1

2

×4²-

1

2

×3²=-5
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

BN

•

CM

=

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2，
∵

BN

⊥

CM

，
∴

BN

•

CM

=0，
即

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2=0
∴

AB

•

AC

=10，
∴10=4×3×cosA，
∴cosA=

5

6

，
∴sinA=

11

6

，
∴cos（A+

π

3

）=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=

5

6

×

1

2

-

11

6

×

3

2

=

5- 33

12

點評：本題考查了向量的三角形法則、和共線定理、數(shù)量積的定義及其性質、向量垂直與數(shù)量積的關系、向量的夾角公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題