【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形且,平面,.

(1)證明:平面平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)證明;(2)

【解析】

1)連結(jié),交于點(diǎn),設(shè)中點(diǎn)為,連結(jié),,推導(dǎo)出,,且,從而四邊形是菱形,進(jìn)而,平面,平面,由此能證明平面平面;(2)推導(dǎo)出是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,設(shè)的中點(diǎn)為,連結(jié),則,以為原點(diǎn),,,分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.

(1)證明:連結(jié),交于點(diǎn),設(shè)中點(diǎn)為,連結(jié),.

、分別為的中點(diǎn),∴,且,

,且,∴,且.

∴四邊形為平行四邊形,∴,即.

平面平面,所以.

是菱形,所以.

,∴平面

,∴平面.

平面,

∴平面平面.

(2)∵,四邊形為菱形.故為2的等邊三角形.

設(shè)的中點(diǎn)為,連結(jié),則.以為原點(diǎn),,分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則

,則,所以

設(shè)平面的法向量為,則

,則所以.

設(shè)二面角的大小為,由于為鈍角,

所以

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6

7

6

7

8

5

6

7

8

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組號(hào)

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

分組

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

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