設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=cosx+sinx，g（x）=cosx-sinx．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）+f2（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=2g（x），求
1+sin2xcos2x-sinxcosx
的值．
分析：（1）根據(jù)題意利用二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式，化簡得F（x）=
2
sin(2x+
π
4
)+1．再由三角函數(shù)的周期公式與正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式加以計算，可得函數(shù)F（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）=2g（x）算出3sinx=cosx，從而得出tanx=
1
3
．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行“弦化切”，可得所求分式的值．
解答：解：（1）F（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+（cosx+sinx）2
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1，
∴函數(shù)F（x）的最小正周期為π．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），得kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
（k∈Z），
可得函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
3π
8
 ， kπ+
π
8
]（k∈Z）． 
（2）∵f（x）=2g（x），∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
解得3sinx=cosx，所以tanx=
sinx
cosx
=
1
3
．
因此，
1+sin2x
cos2x-sinxcosx
=
cos2x+2sin2x
cos2x-sinxcosx
=
1+2tan2x
1-tanx
=
11
6
．
點評：本題已知f（x）、g（x）的表達(dá)式，求與之相關(guān)的函數(shù)F（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax3-3x2．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)x∈R，函數(shù)f（x）=cos（ωx+?）（ω＞0，-
π
2
＜?＜0）的最小正周期為π，且f(
π
4
)=
3
2
．
（Ⅰ）求ω和?的值；
（Ⅱ）在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象；
（Ⅲ）若f(x)＞
2
2
，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)k∈R，函數(shù)f（x）=ex-（1+x+kx2）（x＞0）．
（Ⅰ）若k=1，試求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的極小值；
（Ⅱ）若對任意的t＞0，存在s＞0，使得當(dāng)x∈（0，s）時，都有f（x）＜tx2，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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