Question

10．記S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k（n∈N^*），當(dāng)k=1，2，3，…時(shí)，觀察下列等式：
S₁=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，
S₂=$\frac{1}{3}$n³+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{6}$n，
S₃=$\frac{1}{4}$n⁴+$\frac{1}{2}$n³+$\frac{1}{4}$n²，
S₄=$\frac{1}{5}$n⁵+$\frac{1}{2}$n⁴+An³-$\frac{1}{30}$n，
S₅=$\frac{1}{6}$n⁶+$\frac{1}{2}$n⁵+$\frac{5}{12}$n⁴+Bn²…
可以推測(cè)，A+B=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 通過觀察歸納出：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1；列出方程求出A，B的值，進(jìn)一步得到A+B．

解答 解：根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1；最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)；
所以$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$+A-$\frac{1}{30}$=1，$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{12}$+B=1，
解得，A=$\frac{1}{3}$，B=-$\frac{1}{12}$，
所以A+B=$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查通過觀察、歸納猜想結(jié)論，并據(jù)猜想的結(jié)論解決問題，屬于基礎(chǔ)題．