Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，若AB的中點為（1，-1），則拋物線的方程為（　�。�

• A、y²=（2+2

  3

  ）x
• B、y²=4

  3

  x
• C、y²=（1+2

  3

  ）x
• D、這樣的拋物線不存在

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè)條件設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，由線段AB的中點的橫縱坐標(biāo)，推導(dǎo)出y₁+y₂=-2，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵AB中點為（1，-1），∴y₁+y₂=-2，（x₁+x₂）=2
∵直線過焦點（

p

2

，0），設(shè)AB方程為：x=ky+

p

2

，
代入拋物線方程可得y²=2p（ky+

p

2

），即y²-2pky-p²=0，
∴y₁+y₂=-2pk=-2，y₁y₂=-p²，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4+2p²，
又y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）=2p×2=4p
∴4p=4+2p²，無解
∴這樣的拋物線不存在，
故選：D

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．