【題目】已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等,求切線的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1 , y1)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】
(1)解:由方程x2+y2+2x+4y+3=0知(x+1)2+(y-2)2=2,所以圓心為(-1,2),半徑為 .
當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線方程為y=kx,則 = ,所以k=2± ,即切線方程為y=(2± )x.
當(dāng)切線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)切線方程為x+y=a,則 = ,所以a=1或a=3,即切線方程為x+y+1=0或x+y3=0.
綜上知,切線方程為y=(2± )x或x+y+1=0或x+y-3=0;
(2)因?yàn)閨PO|2+r2=|PC|2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí),即直線PO的方程為2x+y=0時(shí),|PM|最小,
此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn),得P點(diǎn)坐標(biāo)(- , ).
【解析】(1)將圓的一般方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程,得到圓心坐標(biāo)和半徑,分切線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)設(shè)方程,由點(diǎn)到直線的距離等于半徑列出等式,得到切線方程;(2)在直角△PMC中,根據(jù)勾股定理得出,列出等式得到P點(diǎn)的軌跡方程,當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí),|PM|最小,聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖動(dòng)直線 與拋物線 交于點(diǎn) ,與橢圓 交于拋物線右側(cè)的點(diǎn) 為拋物線的焦點(diǎn),則 的最大值為( )
A.
B.
C.2
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對(duì)稱軸方程;
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在銳角△ABC中,a,b,c為角A,B,C所對(duì)的邊,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2 .
(1)求角A的值;
(2)若a= ,則求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:
(1)直線PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
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【題目】一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù),其頻率分布表如下.
(1)計(jì)算a,b的值;
(2)畫出頻率分布直方圖;
(3)用頻率分布直方圖,求出總體的眾數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值.
頻率分布表
分組 | 頻數(shù) | 頻率 | 頻率/組距 |
(10,20] | 2 | 0.10 | 0.010 |
(20,30] | 3 | 0.15 | 0.015 |
(30,40] | 4 | 0.20 | 0.020 |
(40,50] | a | b | 0.025 |
(50,60] | 4 | 0.20 | 0.020 |
(60, 70] | 2 | 0.10 | 0.010 |
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【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示:將的圖象向右平移()個(gè)單位,可得到函數(shù)的圖象,且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)求的值.
(2)求 的最小值,并寫出的表達(dá)式.
(3)設(shè)t>0,關(guān)于x的函數(shù)在區(qū)間上最小值為-2,求t的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知⊙O的半徑是1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P是⊙O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作等邊三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè).
(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù);
(2)求四邊形OPDC面積的最大值.
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