Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x1 ， y1）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程x2+y2+2x+4y+3=0知（x+1）2+（y-2）2=2，所以圓心為（-1，2），半徑為 ．

當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx，則 = ，所以k=2± ，即切線方程為y=（2± ）x．

當(dāng)切線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，則 = ，所以a=1或a=3，即切線方程為x+y+1=0或x+y3=0．

綜上知，切線方程為y=（2± ）x或x+y+1=0或x+y-3=0；

（2）因?yàn)閨PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0．

要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí)，即直線PO的方程為2x+y=0時(shí)，|PM|最小，

此時(shí)P點(diǎn)即為兩直線的交點(diǎn)，得P點(diǎn)坐標(biāo)（- ， ）．

【解析】（1）將圓的一般方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，分切線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)設(shè)方程，由點(diǎn)到直線的距離等于半徑列出等式，得到切線方程；（2）在直角△PMC中，根據(jù)勾股定理得出，列出等式得到P點(diǎn)的軌跡方程，當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時(shí)，|PM|最小，聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo).