Question

2．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），點O為坐標原點，點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點M在線段AB上，滿足BM=2MA，直線OM的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（1）求橢圓E的離心率e；
（2）若$b=\sqrt{3}$，直線l平行于AB，且在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線l對稱，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用分點坐標公式可得M的坐標，再由直線的斜率公式和離心率公式，計算即可得到；
（2）假設(shè)橢圓上存在不同兩點C、D關(guān)于直線l對稱，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD中點H（x₀，y₀）
直線CD方程為：y=$\frac{2}{\sqrt{3}}$x+n．直線l的方程為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m
代入橢圓方程，△＞0，求得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
求得x₁+x₂，根據(jù)中點坐標公式，求得H點坐標，將H代入直線l的方程，即可求得m的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵A（a，0）B（0，b）點M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{3}$），∵直線OM的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．∴${k}_{OM}=\frac{2a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴橢圓E的離心率e=$\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）若$b=\sqrt{3}$，則a=2，∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．k${\;}_{AB}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
假設(shè)橢圓上存在不同兩點C、D關(guān)于直線l對稱，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD中點H（x₀，y₀）
直線CD方程為：y=$\frac{2}{\sqrt{3}}$x+n．直線l的方程為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{\sqrt{3}}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消y整理可得：$\frac{25}{3}$x²+$\frac{16}{\sqrt{3}}$nx+4n²-12=0，
由△=（$\frac{16}{\sqrt{3}}$n）²-4×$\frac{25}{3}$×（4n²-12）=$\frac{1200-144{n}^{2}}{3}$＞0，解得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
代入橢圓方程，△＞0，求得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
且x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}n}{25}$，x₁x₂=$\frac{3}{25}（4{n}^{2}-12）$
${x}_{0}=-\frac{8\sqrt{3}n}{25}$，${y}_{0}=\frac{2}{\sqrt{3}}{x}_{0}+n$=$\frac{9n}{25}$
即$\frac{9n}{25}=-\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{8\sqrt{3}n}{25}）+m$，⇒m=-$\frac{3n}{25}$
由-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$，得-$\frac{\sqrt{3}}{5}$＜m$＜\frac{\sqrt{3}}{5}$
∴直線l在y軸上截距的取值范圍為：（-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，中點坐標公式及計算能力，屬于中檔題．