Question

10．已知函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的反函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，-1），函數(shù)g（x）=2f²（x）-2mf（x）+n，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，有最小值-8，不等式g（x）＞0的解集為A．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求集合A；
（3）設(shè)集合B={x||x-t|≤$\frac{1}{2}$}，滿足A∩B=∅，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用反函數(shù)的知識，求解函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）化簡不等式，通過二次不等式以及對數(shù)不等式的解法求解即可．
（3）求出集合B，利用交集為空集，列出不等式組，求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的反函數(shù)y=f（x）=log_ax的圖象過點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，-1），
可得-1=log_a$\frac{1}{2}$，可得a=2．函數(shù)y=f（x）的解析式：f（x）=log₂x．
（2）函數(shù)g（x）=2f²（x）-2mf（x）+n=2（log₂x-$\frac{m}{2}$）²+n-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，有最小值-8，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}=-1}\\{n-\frac{{m}^{2}}{2}=-8}\end{array}\right.$，解得m=-2，n=-6，
∴函數(shù)g（x）=2f²（x）+4f（x）-6=2（f（x）+3）（f（x）-1），
不等式g（x）＞0，∴f（x）＜-3或f（x）＞1，即log₂x＜-3或log₂x＞1，
解得x∈（$0，\frac{1}{8}$）∪（2，+∞），
（3）|x-t|≤$\frac{1}{2}$，可得t-$\frac{1}{2}$≤x≤t+$\frac{1}{2}$，集合B={x||x-t|≤$\frac{1}{2}$}，滿足A∩B=∅，
可得：t+$\frac{1}{2}≤0$或$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{2}≤2}\\{t-\frac{1}{2}≥\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
解得t$≤-\frac{1}{2}$或$\frac{5}{8}≤t≤\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解析式的求法，不等式的解法，考查計(jì)算能力．