Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x³-2x+1|，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)a組成的集合為$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．

Answer 1

分析 方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為：f（x）=a|x-1|有4個(gè)解，轉(zhuǎn)化為|x²+x-1|=a有3個(gè)解，利用函數(shù)的圖象求解即可．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）=|x³-2x+1|，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，就是f（x）=a|x-1|有4個(gè)解，
即：|x-1||x²+x-1|=a|x-1|有4個(gè)解，
因?yàn)閤=1是方程的解，所以只需|x²+x-1|=a有3個(gè)解，
在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|x²+x-1|與y=a的圖象，如圖：可知a=1滿足題意，
y=-x²-x+1的最大值為：y=$\frac{5}{4}$，
即a=$\frac{5}{4}$時(shí)，函數(shù)y=|x²+x-1|與y=a的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．
滿足題意的a的集合為：$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．
故答案為：$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．