Question

14．已知函數(shù)f（x）=ke^x-$\frac{1}{2}$x²（k∈R）．
（1）若x軸是曲線y=f（x）的一條切線，求實數(shù)k的值；
（2）設k＜0，求函數(shù)g（x）=f′（x）+e^2x+x在區(qū)間（-∞，ln 2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，設切點為（m，0），求得切線的斜率，解方程可得k的值；
（2）求得g（x）=ke^x+e^2x，令t=e^x（0＜t≤2），即有y=g（x）=t²+kt，對稱軸為t=-$\frac{k}{2}$＞0，討論區(qū)間（0，2]與對稱軸的關系，結合單調性可得最小值．

解答 解：（1）f（x）=ke^x-$\frac{1}{2}$x²的導數(shù)為f′（x）=ke^x-x，
設切點為（m，0），即有ke^m-m=0，ke^m-$\frac{1}{2}$m²=0，
解方程可得m=0，k=0，或m=2，k=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
則k=0或$\frac{2}{{e}^{2}}$；
（2）函數(shù)g（x）=f′（x）+e^2x+x=ke^x+e^2x，
令t=e^x（0＜t≤2），即有y=g（x）=t²+kt，
對稱軸為t=-$\frac{k}{2}$＞0，
當0＜-$\frac{k}{2}$≤2，即-4≤k＜0時，函數(shù)的最小值為（-$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{2}$=-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
當-$\frac{k}{2}$＞2，即k＜-4時，函數(shù)在（0，2]遞減，最小值為4+2k．
綜上可得，在-4≤k＜0時，g（x）的最小值為-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
k＜-4時，函數(shù)g（x）的最小值為4+2k．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．