Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，na_n+1-（n+1）a_n=n²+n+1，n∈N^*．
（1）證明：{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}為等差數(shù)列：
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（3）證明：$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由條件可得n（a_n+1+1）-（n+1）（a_n+1）=n（n+1），兩邊除以n（n+1），運用等差數(shù)列的定義即可得證；
（2）由等差數(shù)列的通項公式，化簡即可得到所求；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），運用裂項相消求和以及不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 （1）證明：na_n+1-（n+1）a_n=n²+n+1，
即為n（a_n+1+1）-（n+1）（a_n+1）=n（n+1），
即有$\frac{{a}_{n+1}+1}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=1，
則{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}為首項是1，公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=1+n-1=n，
即有a_n=n²-1；
（3）證明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
則$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查裂項相消求和和不等式的性質(zhì)證明不等式，考查運算能力，屬于中檔題．