Question

17．已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為數(shù)列a_n=n，寫出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為數(shù)列c_n=An+B，（A，B是常數(shù)），試問(wèn)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=2ⁿ+n，設(shè)數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項(xiàng)和為T_n，問(wèn)是否存在自然數(shù)m滿足（T_n-2014）（T_n-6260）≤0，若存在，請(qǐng)求出m的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論可得當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2n-1；從而求通項(xiàng)公式；
（2）分類討論，從而令2A+2B-A=A+B，從而討論可得；
（3）分類討論，從而求得p₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，p_n=3•2^n-1+2n-1；從而拆項(xiàng)求其和即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+a_n-1=n+n-1=2n-1；
易知當(dāng)n=1時(shí)上式也成立；
故{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n-1；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，l₁=c₁=A+B，
當(dāng)n≥2時(shí)，l_n=c_n+c_n-1=An+B+A（n-1）+B=2An+2B-A；
令2A+2B-A=A+B得B=0，
故當(dāng)B=0時(shí)，{l_n}也是等差數(shù)列，
當(dāng)B≠0時(shí)，{l_n}不是等差數(shù)列；
（3）當(dāng)n=1時(shí)，p₁=d₁=2+1=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+n-1=3•2^n-1+2n-1；
T_n=3+（6+3）+（12+5）+…+（3•2^n-1+2n-1）
=$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{3+2n-1}{2}$•（n-1）
=3（2ⁿ-1）+（n+1）（n-1），
=3•2ⁿ+n²-4，
由（T_n-2014）（T_n-6260）≤0知，
2014≤3•2ⁿ+n²-4≤6260，且n∈N；
解得，n=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．