Question

已知x∈R，奇函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調(diào)．
（1）求字母a，b，c應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)x≥1，f（x）≥1，且滿足f[f（x）]=x，求證：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且函數(shù)在x=0處有意義所以f（0）=0求出c，由f（x）+f（-x）=0求出a，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)，得到f'（x）≥0恒成立或f'（x）≤0恒成立求出b的范圍即可；
（2）利用反證法，先假設(shè)假設(shè)f（x）≠x，不妨設(shè)f（x）=a＞x≥1，根據(jù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
得到f[f（x）]=f（a）＞f（x）＞x，與已知矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確．
解答：解：（1）∵f（0）=0⇒c=0；f（x）+f（-x）=0⇒a=0．∵f'（x）=3x²-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是減函數(shù)，則f'（x）≤0恒成立，這樣的b不存在．
綜上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假設(shè)f（x）≠x，不妨設(shè)f（x）=a＞x≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故f[f（x）]=f（a）＞f（x）＞x，
這與已知f[f（x）]=x矛盾，故原假設(shè)不成立，即有f（x）=x．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，以及會(huì)用反證法進(jìn)行命題的證明．