Question

已知直線y=

2

2

x與橢圓在第一象限交于M點(diǎn)，又MF₂⊥x軸，F(xiàn)₂是橢圓右焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，若

MF1

•

MF2

=2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意知道，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再得到M的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積，求出c的值，再根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上，和橢圓的性質(zhì)，求出a²，b²的值，問(wèn)題得以解決

解答： 解：∵M(jìn)F₂⊥x軸，F(xiàn)₂是橢圓右焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，
∴焦點(diǎn)在x軸上，
可設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），設(shè)焦點(diǎn)F₂是的坐標(biāo)為（c，0），F(xiàn)₁是的坐標(biāo)為（-c，0），
∵直線y=

2

2

x與橢圓在第一象限交于M點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（c，

2

2

c），
∴

MF1

=（-2c，-

2

2

c），

MF2

=（0，

2

2

c），
∵

MF1

•

MF2

=2，
∴

1

2

c²=2，
∴c=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，

2

），
∵點(diǎn)M在橢圓上，
∴

4

a2

+

2

b2

=1，
∵a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=4，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題